Geometrische kubussen. Wat is een kubus diagonaal, en hoe het te vinden

Of een hexahedron) is een driedimensionale figuur, elk vlak is een vierkant waarin, zoals we weten, alle zijden gelijk zijn. De diagonaal van de kubus is een segment dat door het midden van de figuur loopt en symmetrische hoekpunten met elkaar verbindt. In een gewone hexahedron zijn er 4 diagonalen en ze zullen allemaal gelijk zijn. Het is erg belangrijk om de diagonaal van de figuur zelf niet te verwarren met de diagonaal van zijn gezicht of vierkant, die aan de basis ligt. Het diagonale vlak van de kubus loopt door het midden van het gezicht en verbindt de tegenovergestelde hoekpunten van het vierkant.

Formule voor het vinden van de kubus diagonaal

De diagonaal van een regelmatige veelvlak is te vinden met behulp van een zeer eenvoudige formule die onthouden moet worden. D = a√3, waarbij D de diagonaal van de kubus is en de rand is. We geven een voorbeeld van een probleem waarbij het nodig is om een ​​diagonaal te vinden, als bekend is dat de lengte van de rand 2 cm is. Hier is alles gewoon D = 2√3, zelfs niets hoeft te worden overwogen. In het tweede voorbeeld, laat de rand van de kubus √ 3 cm zijn, dan krijgen we D = √3√3 = √9 = 3. Antwoord: D is 3 cm.

De formule waarmee je de diagonaal van het kubusvlak kunt vinden

Diago Diago Je kunt ook een gezicht vinden aan de hand van de formule Je kunt ook een gezicht vinden aan de hand van de formule. De diagonalen die op de randen liggen zijn slechts 12 stukjes, en ze zijn allemaal gelijk. Nu herinneren we ons d = a√2, waarbij d de diagonaal van het vierkant is, en ook de rand van de kubus of de zijkant van het vierkant. Het is heel eenvoudig om te begrijpen waar deze formule vandaan komt. Immers, de twee zijden van het vierkant en de diagonale vorm.In dit trio speelt de diagonaal de rol van de hypotenusa, en de zijkanten van het vierkant zijn de benen, die dezelfde lengte hebben. Herinner de stelling van Pythagoras en alles zal onmiddellijk op zijn plaats vallen. Nu de taak: de rand van de hexahedron is √8 cm, het is noodzakelijk om de diagonaal van zijn gezicht te vinden. We voegen deze toe aan de formule en we krijgen d = √8 √2 = √16 = 4. Antwoord: de diagonaal van het kubusgezicht is 4 cm.

Als het diagonale vlak van de kubus bekend is

Door de toestand van het probleem, krijgen we alleen de diagonaal van het gezicht van een regelmatige veelvlak, dat wil zeggen √ 2 cm, en moeten we de diagonaal van de kubus vinden. De formule voor het oplossen van dit probleem is iets ingewikkelder dan de vorige. Als we d weten, kunnen we de rand van de kubus vinden op basis van onze tweede formule d = a√2. We krijgen a = d / √2 = √2 / √2 = 1cm (dit is onze voordeel). En als deze hoeveelheid bekend is, is het gemakkelijk om de kubus diagonaal te vinden: D = 1√3 = √3. Dat is hoe we ons probleem hebben opgelost.

Als het oppervlak bekend is


Het volgende oplossingsalgoritme is gebaseerd op het vinden van de diagonaal door te veronderstellen dat deze gelijk is aan 72 cm2. Om te beginnen zullen we het gebied van één gezicht vinden, en er zijn er zes totaal, dus 72 moeten gedeeld worden door 6, we krijgen 12 cm 2. Dit is het gebied van één facet. Om de rand van een regelmatige veelvlak te vinden, moet de formule S = a 2 worden opgeroepen, wat a = √S betekent. Vervangen en we krijgen a = √12 (rand van de kubus). En als we deze waarde kennen, is de diagonaal niet moeilijk te vinden D = a√3 = √12 √3 = √36 = 6. Het antwoord: de diagonaal van de kubus is 6 cm 2.

Als de lengte van de kubusranden bekend is

Er zijn gevallen waarin het probleem alleen de lengte van alle randen van de kubus bevat. Dan is het nodig om deze waarde te delen door 12. Het is het aantal zijden in het juiste veelvlak. Als de som van alle randen bijvoorbeeld 40 is, is één zijde gelijk aan 40/12 = 3,333. We voegen deze toe aan onze eerste formule en krijgen het antwoord!

Waarin je de rand van de kubus moet vinden. Dit is de definitie van de lengte van een kubusrand op basis van het vlak van de kubus, het volume van de kubus, de diagonaal van het vlak van de kubus en de diagonaal van de kubus. Overweeg alle vier de opties voor dergelijke taken. (De resterende taken, in de regel, zijn variaties op het bovenstaande of taken in trigonometrie, die zeer indirect gerelateerd zijn aan de kwestie die in behandeling is)

Als je het gebied van het vlak van de kubus kent, vind je dat de rand van de kubus heel eenvoudig is. Omdat het vlak van de kubus een vierkant is met een zijde gelijk aan de rand van de kubus, is het vlak gelijk aan het vierkant van de rand van de kubus. Daarom is de lengte van de rand van de kubus gelijk aan de vierkantswortel van het gebied van zijn gezicht, dat wil zeggen:

en - de lengte van de rand van de kubus,

S is het gebied van het kubusvlak.

Het volume van een kubus in zijn volume vinden is nog eenvoudiger. Aangezien het volume van de kubus gelijk is aan de kubus (van de derde graad) van de lengte van de rand van de kubus, verkrijgen we dat de lengte van de rand van de kubus gelijk is aan de wortel van de kubieke (derde graad) van het volume, dat wil zeggen:

en - de lengte van de rand van de kubus,

V is het volume van de kubus.

Het vinden van de lengte van een kubusrand langs bekende diagonale lengten is iets moeilijker. Geef aan:

en - de lengte van de rand van de kubus;

b - de lengte van de diagonaal van het vlak van de kubus;

c - de lengte van de kubusdiagonaal.

Zoals uit de figuur blijkt, vormen de diagonaal van het vlak en de randen van de kubus een rechthoekige gelijkbenige driehoek. Daarom, volgens de stelling van Pythagoras:

Vanaf hier vinden we:

(om de rand van de kubus te vinden die u moet extraheren vierkantswortel vanaf de helft van het vierkant van het diagonale vlak).

Om de rand van de kubus langs zijn diagonaal te vinden, gebruiken we het patroon opnieuw. De diagonaal van de kubus (c), de diagonaal van het vlak (b) en de rand van de kubus (a) vormen een rechthoekige driehoek. Dus, volgens de stelling van Pythagoras:

We gebruiken de bovenstaande relatie tussen a en b en substituut in de formule

b ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2. We krijgen:

a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, vanwaar wij vinden:

3 * a ^ 2 = c ^ 2, daarom:

Een kubus is een rechthoekig parallellepipedum, waarvan alle randen gelijk zijn. Daarom zijn de algemene formule voor het volume van een rechthoekig parallellepipedum en de formule voor het oppervlak in het geval van een kubus vereenvoudigd. Ook kan het volume van de kubus en het oppervlak worden gevonden, wetende dat het volume van de bal erin is beschreven, of de bal die eromheen is beschreven.

Je hebt nodig

  • de lengte van de zijkant van de kubus, de straal van de ingeschreven en beschreven bal

instructie

Het volume van een rechthoekig parallellepipedum is: V = abc - waarbij a, b, c de afmetingen zijn. Daarom is het volume van de kubus gelijk aan V = a * a * a = a ^ 3, waarbij a de lengte is van de zijkant van de kubus Het oppervlak van de kubus is gelijk aan de som van de vlakken van alle vlakken. De kubus heeft zes vlakken, dus het oppervlak is S = 6 * (a ^ 2).

Laat de bal in de kubus passen. Het is duidelijk dat de diameter van deze bal gelijk is aan de zijkant van de kubus . Vervanging van de lengte van de diameter in de uitdrukking voor het volume in plaats van de lengte van de kubusrand en met gebruikmaking van dat de diameter gelijk is aan tweemaal de straal, krijgen we dan V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), waarbij d de diameter is van de ingeschreven cirkel en r is de straal van de ingeschreven cirkel, het oppervlak van de kubus zal dan S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2) zijn.

Laat de bal beschreven worden rond een kubus . Dan zal zijn diameter samenvallen met de diagonaal van de kubus . De diagonaal van de kubus passeert door het midden van de kubus en verbindt de twee tegenovergestelde punten met elkaar.
Beschouw eerst een van de vlakken van de kubus . De randen van dit facet zijn de benen van een rechthoekige driehoek, waarin de diagonaal van gezicht d een hypotenusa is. Dan, door de stelling van Pythagoras, verkrijgen we: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Overweeg dan de driehoek waarin de hypotenusa de diagonaal van de kubus is , en de diagonaal van het gezicht d en een van de randen van de kubus a zijn de poten. Op dezelfde manier krijgen we volgens de stelling van Pythagoras: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).
Dus, volgens de afgeleide formule, is de diagonaal van de kubus D = a * sqrt (3). Vandaar dat a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Daarom is V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), waarbij R de straal is van de beschreven bal. Het oppervlak van de kubus is S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).

Vaak zijn er taken waarbij u de rand van een kubus moet vinden, vaak moet dit worden gedaan op basis van informatie over het volume, het facetgebied of de diagonaal. Er zijn verschillende opties voor het definiëren van een kubusrand.

In dat geval, als het gebied van de kubus bekend is, kan de rand gemakkelijk worden bepaald. Het vlak van de kubus is een vierkant met een zijde gelijk aan de rand van de kubus. Dienovereenkomstig is zijn oppervlakte gelijk aan de vierkante rand van de kubus. Gebruik de formule: a = √S, waarbij a de lengte is van de rand van de kubus en S het gebied van het vlak van de kubus. Het vinden van een kubusrand op basis van het volume is een nog eenvoudiger taak. Het is noodzakelijk om rekening te houden met het volume van de kubus is gelijk aan kubus (in de derde graad) de lengte van de rand van de kubus. Het blijkt dat de lengte van de rand gelijk is aan de kubuswortel van zijn volume. Dat wil zeggen, we krijgen de volgende formule: a = √V, waarbij a de lengte is van de rand van de kubus en V het volume van de kubus.


Diagonaal kun je ook de rand van de kubus vinden. Dienovereenkomstig hebben we nodig: a - de lengte van de rand van de kubus, b - de lengte van de diagonaal van het vlak van de kubus, c - de lengte van de diagonaal van de kubus. Door de stelling van Pythagoras krijgen we: a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2, en van daaruit kun je gemakkelijk de volgende formule afleiden: a = √ (b ^ 2/2), die de rand van de kubus uittrekt.


Nogmaals, met behulp van de stelling van Pythagoras (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), kunnen we de volgende relatie krijgen: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, waaruit we afleiden: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, daarom kan de rand van de kubus als volgt worden verkregen: a = √ (c ^ 2/3).


Nogmaals, met behulp van de stelling van Pythagoras (a ^ 2 + a ^ 2 = b ^ 2), kunnen we de volgende relatie krijgen: a ^ 2 + a ^ 2 + a ^ 2 = c ^ 2, waaruit we afleiden: 3 * a ^ 2 = c ^ 2, daarom kan de rand van de kubus als volgt worden verkregen: a = √ (c ^ 2/3)